Le terme d'une série convergente tend vers zéro

Ce qu'on emploie. La définition seule : $\sum u_n$ converge signifie que la suite des sommes partielles $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_n$ converge vers un réel $S$.

La démonstration. Pour $N⩾1$, écrivons $$u_N=S_N-S_{N-1}.$$ En effet $S_N$ et $S_{N-1}$ ne diffèrent que par le dernier terme ajouté.

Or $S_N\to S$ quand $N\to +\infty$. La suite $(S_{N-1})$ est la même suite décalée d'un rang : elle converge donc aussi vers $S$. Par différence de deux suites convergentes, $$u_N=S_N-S_{N-1}⟶S-S=0.$$

La réciproque est fausse. Le contre-exemple de référence est la série harmonique ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n}$ : son terme général tend bien vers $0$, et pourtant elle diverge — c'est une série de Riemann avec $\alpha =1$, et le cours établit que la convergence exige $\alpha >1$.

Comment s'en servir. Le résultat démontré s'emploie surtout par contraposée : si le terme général ne tend pas vers $0$, la série diverge. C'est le premier test à faire, et il coûte une ligne. Par exemple $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge, puisque $\frac{n}{n+1}\to 1\ne 0$.

Le piège à éviter. L'implication ne va que dans un sens. Constater que le terme tend vers $0$ ne permet jamais de conclure à la convergence : il faut alors passer à une comparaison.