Le terme tend vers zéro, et pourtant

Comparons à une intégrale. Sur $[2,x]$, le changement de variable affine n'est pas nécessaire : une primitive de $\frac{1}{t\ln t}$ est $\ln (\ln t)$, car $(\ln (\ln t){)}^{\prime }=\frac{1/t}{\ln t}$. Donc

$${\int }_2^x\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}=\ln (\ln x)-\ln (\ln 2)\underset{x\to +\infty }{\to }+\infty .$$

L'intégrale diverge, et la fonction $t\mapsto \frac{1}{t\ln t}$ étant positive et décroissante, la série diverge de même.

Le terme, lui, tend vers $0$ : $\frac{1}{n\ln n}\to 0$. C'est le rappel le plus utile du chapitre — la nullité du terme est nécessaire à la convergence, jamais suffisante.

L'ordre de grandeur. La somme croît comme $\ln (\ln N)$ : pour $N=10^6$ elle ne vaut que $3,42$, alors que $\ln (\ln 10^6)=2,63$ — la différence est une constante, et c'est bien la croissance qui est en $\ln (\ln N)$. Une divergence peut être imperceptible.