Le test qui coûte une ligne

L'outil. Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\to 0$. Par contraposée : si le terme général ne tend pas vers $0$, la série diverge. C'est le premier test à effectuer, avant toute comparaison.

Première série. Pour $n⩾1$, $$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}⟶\frac{1}{1+0}=1.$$ La limite vaut $1\ne 0$, donc la série diverge.

Seconde série. La suite $((-1{)}^n)$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ : elle n'a pas de limite. En particulier elle ne tend pas vers $0$, donc la série diverge.

On peut le voir directement sur les sommes partielles : $S_N={\sum }_{n=0}^N(-1{)}^n$ vaut $1$ si $N$ est pair et $0$ si $N$ est impair. La suite $(S_N)$ oscille entre deux valeurs et ne converge pas.

Le piège symétrique. Ce test ne conclut jamais dans l'autre sens : la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ a un terme général qui tend vers $0$ et diverge pourtant. Quand le terme tend vers $0$, le test est muet et il faut comparer.