Majorer le reste d'une série convergente

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Comparaison série-intégrale

Énoncé

Pour $N ⩾ 1$ , on pose $R_{N} = n = N + 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}}$ . En comparant à une intégrale, montrer que $R_{N} ⩽ \frac{1}{N}$ . Combien de termes faut-il pour que le reste soit inférieur à $1 0^{- 3}$ ?

Corrigé

Le reste existe. $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge (Riemann, $α = 2 > 1$ ), donc la somme des termes au-delà du rang $N$ est un réel bien défini, positif.

La comparaison, terme par terme. La fonction $t \mapsto \frac{1}{t ^{2}}$ est décroissante sur $[1, + \infty [$ . Donc, pour $n ⩾ 2$ et pour tout $t \in [n - 1, n]$ , on a $t ⩽ n$ donc $\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{t ^{2}}$ . En intégrant cette inégalité sur l'intervalle $[n - 1, n]$ , de longueur $1$ : $\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \int_{n - 1}^{n} \frac{d t}{t ^{2}} .$

La sommation. Pour $M > N ⩾ 1$ , additionnons de $n = N + 1$ à $n = M$ : les intervalles $[n - 1, n]$ se recollent bout à bout, $n = N + 1 \sum M \frac{1}{n ^{2}} ⩽ \int_{N}^{M} \frac{d t}{t ^{2}} = [- \frac{1}{t}]_{N}^{M} = \frac{1}{N} - \frac{1}{M} ⩽ \frac{1}{N} .$

Le passage à la limite. Les sommes partielles du reste sont majorées par $\frac{1}{N}$ , indépendamment de $M$ ; en faisant tendre $M$ vers $+ \infty$ , l'inégalité large se conserve : $R_{N} ⩽ \frac{1}{N} .$

L'application numérique. Il suffit que $\frac{1}{N} ⩽ 1 0^{- 3}$ , soit $N ⩾ 1000$ . Sommer les mille premiers termes garantit donc une erreur d'au plus $1 0^{- 3}$ .

Ce que cela apprend. La convergence est lente : mille termes pour trois décimales. Un majorant du reste est ce qui transforme une série convergente en méthode de calcul effective — sans lui, on ne saurait jamais où s'arrêter.

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