Natures de séries

$\sum \frac{1}{n^3}$ : converge, série de Riemann avec $\alpha =3>1$.

$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ : diverge, série de Riemann avec $\alpha =\frac{1}{2}⩽1$.

$\sum \frac{2n+1}{n^3+n}$ : converge. Le terme est positif et

$$\frac{2n+1}{n^3+n}\sim \frac{2n}{n^3}=\frac{2}{n^2},$$

qui est le terme d'une série de Riemann convergente ($\alpha =2$), multiplié par la constante $2$. Par la règle des équivalents, la série converge.

Le réflexe. On garde le terme dominant en haut et en bas, et l'on compare à $\frac{1}{n^{\alpha }}$. La constante multiplicative ne change jamais la nature.