Pourquoi une série et une intégrale ont même nature

L'encadrement élémentaire. Soit $n⩾1$. Pour tout $t\in [n,n+1]$, on a $n⩽t⩽n+1$, et $f$ étant décroissante, $$f(n+1)⩽f(t)⩽f(n).$$ En intégrant sur $[n,n+1]$, intervalle de longueur $1$ : $$f(n+1)⩽{\int }_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t⩽f(n).(\star )$$

Première inégalité. Sommons l'inégalité de droite de $(\star )$ pour $n=1,\dots ,N-1$. Les intervalles se recollent en $[1,N]$ : $${\int }_1^{N}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{N-1}{\int }_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{n=1}^{N-1}f(n).$$

Seconde inégalité. Sommons l'inégalité de gauche de $(\star )$ pour les mêmes indices : ${\sum }_{n=1}^{N-1}f(n+1)⩽{\int }_1^{N}f$. Le membre de gauche est ${\sum }_{n=2}^{N}f(n)$ après changement d'indice.

Même nature. Notons $S_N={\sum }_{n=1}^{N}f(n)$ et $I_N={\int }_1^{N}f$. Toutes les quantités sont positives, donc $(S_N)$ et $(I_N)$ sont croissantes : chacune converge si et seulement si elle est majorée.

Si ${\int }_1^{+\infty }f$ converge : alors $I_N$ est majorée par la valeur de l'intégrale, et la seconde inégalité donne $S_N⩽f(1)+I_N$, donc $(S_N)$ est majorée : la série converge.

Si $\sum f(n)$ converge : alors $(S_N)$ est majorée par la somme, et la première inégalité donne $I_N⩽S_{N-1}⩽S$, donc $(I_N)$ est majorée. Comme $f$ est positive, $x\mapsto {\int }_1^{x}f$ est croissante et majorée sur $[1,+\infty [$, donc elle converge.

Conclusion. Les deux objets convergent ou divergent ensemble.

Le point délicat est la décroissance : c'est elle qui donne $(\star )$, et sans elle l'encadrement s'effondre. La positivité, elle, sert à la monotonie des deux suites.