mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 6 · Exercice d'entraînement

Pourquoi une série et une intégrale ont même nature

Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Comparaison série-intégrale · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty [$. Montrer que pour tout $N⩾2$, $${\int }_1^{N}f(t)\mathrm{d}t⩽\sum _{n=1}^{N-1}f(n)\text{et}\sum _{n=2}^{N}f(n)⩽{\int }_1^{N}f(t)\mathrm{d}t.$$ En déduire que $\sum f(n)$ et ${\int }_1^{+\infty }f$ sont de même nature.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.