Trois natures à décider

La méthode. Les trois termes généraux sont positifs à partir d'un certain rang : les règles de comparaison du cours s'appliquent. On cherche à chaque fois un équivalent, puis on conclut par une série de Riemann ou géométrique.

Première série. Numérateur et dénominateur sont dominés par leur terme de plus haut degré : $$\frac{3n^2+1}{n^4-n}=\frac{3n^2(1+\frac{1}{3n^2})}{n^4(1-\frac{1}{n^3})}\sim \frac{3n^2}{n^4}=\frac{3}{n^2}.$$ Or $\sum \frac{3}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$, la constante $3$ ne change rien). Deux séries à termes positifs de termes équivalents ont même nature : la série converge.

Deuxième série. $$\frac{n+2}{n^2+1}\sim \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n},$$ et $\sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique, qui diverge. Donc la série diverge, bien que son terme tende vers $0$.

Troisième série. Ici l'équivalent ne sert à rien : on majore. Pour $n⩾1$, $n⩾1$ donc $$0⩽\frac{1}{n{2}^n}⩽\frac{1}{2^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n.$$ La série géométrique de raison $\frac{1}{2}\in \left]0,1\right[$ converge. Par la règle de majoration pour les séries à termes positifs, la série converge.

Le point délicat. Le second exemple rappelle que « le terme tend vers $0$ » ne suffit jamais à conclure à la convergence : c'est une condition nécessaire, pas suffisante.