Trois séries de Riemann

Le critère. Le cours établit que ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >1$. La frontière $\alpha =1$ est du côté de la divergence.

Première série. $\alpha =\frac{4}{3}$. Comme $\frac{4}{3}>1$, la série converge.

Deuxième série. $\alpha =\frac{2}{3}<1$ : la série diverge. Le terme général tend pourtant vers $0$ — cela ne suffit jamais.

Troisième série. Ce n'est pas exactement une série de Riemann, mais $$\sum _{n=1}^N\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}.$$ Multiplier tous les termes par une constante non nulle ne change pas la nature d'une série : les sommes partielles sont multipliées par $\frac{1}{2}$, donc elles convergent ou divergent ensemble. Or $\sum \frac{1}{n}$ est la série harmonique, qui diverge. Donc la série diverge.

Le repère à mémoriser. Le cas $\alpha =1$ diverge, le cas $\alpha =2$ converge. Tout se joue entre les deux, et l'exposant $\frac{2}{3}$ de la deuxième série est bien au-dessous de la frontière.