Un écart qui rend la série convergente

L'obstacle. Les deux termes sont chacun équivalents à $\frac{1}{n}$ : leur différence est une forme indéterminée, et on n'additionne pas des équivalents. Il faut un développement limité, qui donne un terme de plus.

Le développement. Le cours donne, en $0$, $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+x^2\epsilon (x),\epsilon (x)\underset{x\to 0}{\to }0.$$ Appliquons-le avec $x=\frac{1}{n}$, qui tend vers $0$ quand $n\to +\infty$ : $$\ln (1+\frac{1}{n})=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{n^2}{\epsilon }_n,{\epsilon }_n⟶0.$$

L'équivalent. En retranchant du terme $\frac{1}{n}$ : $$u_n=\frac{1}{n}-\ln (1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2n^2}-\frac{{\epsilon }_n}{n^2}=\frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{2}-{\epsilon }_n\right).$$ Le quotient $\frac{u_n}{1/(2n^2)}=1-2{\epsilon }_n$ tend vers $1$, donc par définition $$u_n\sim \frac{1}{2n^2}.$$

Positivité. Comme ${\epsilon }_n\to 0$, la parenthèse $\frac{1}{2}-{\epsilon }_n$ est strictement positive à partir d'un certain rang : $u_n$ y est positif, et les règles de comparaison s'appliquent. (On pouvait aussi invoquer l'inégalité $\ln (1+x)⩽x$ pour $x>0$.)

Conclusion. $\sum \frac{1}{2n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$), donc $\sum u_n$ converge.

Le point délicat. Les deux suites $\frac{1}{n}$ et $\ln (1+\frac{1}{n})$ donnent des séries divergentes ; leur différence, elle, donne une série convergente. Une soustraction peut faire disparaître le terme dominant — c'est précisément pourquoi le développement limité était indispensable.