Une intégrale à comparer

Le cadre. Pour $t⩾1$, le dénominateur vaut au moins $5>0$ : l'intégrande est continu et strictement positif sur $[1,+\infty [$. Les règles de comparaison pour les fonctions positives s'appliquent.

L'équivalent en $+\infty$. Factorisons le terme dominant du dénominateur : $$t^2+3t+1=t^2\left(1+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2}\right),$$ et la parenthèse tend vers $1$ quand $t\to +\infty$. Donc $$\frac{1}{t^2+3t+1}\sim \frac{1}{t^2}(t\to +\infty ).$$

La conclusion. L'intégrale ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$). Deux fonctions positives équivalentes en $+\infty$ donnent des intégrales de même nature, donc $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2+3t+1}\text{converge}.$$

Une variante par majoration. On pouvait aussi éviter l'équivalent : pour $t⩾1$, $t^2+3t+1⩾t^2$, donc $$0⩽\frac{1}{t^2+3t+1}⩽\frac{1}{t^2},$$ et la règle de majoration conclut de la même façon. Cette seconde voie est plus courte ici ; l'équivalent, lui, aurait aussi permis de conclure à la divergence si le dénominateur avait été de degré $1$.