Une intégrale calculée par décomposition

La méthode imposée. On calcule d'abord sur un segment $[1,x]$, puis on fait tendre $x$ vers $+\infty$. L'intégrande est continu sur $[1,+\infty [$ (le dénominateur ne s'y annule pas).

La décomposition. Vérifions l'identité, pour $t⩾1$ : $$\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}=\frac{(t+1)-t}{t(t+1)}=\frac{1}{t(t+1)}.$$

Le calcul sur le segment. Pour $x>1$, $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}={\int }_1^x\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)\mathrm{d}t=[\ln t-\ln (t+1){]}_1^x=[\ln \frac{t}{t+1}{]}_1^x,$$ le regroupement étant licite car $t$ et $t+1$ sont strictement positifs sur $[1,x]$. Donc $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}=\ln \frac{x}{x+1}-\ln \frac{1}{2}.$$

Le passage à la limite. Quand $x\to +\infty$, $\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+1/x}\to 1$, donc $\ln \frac{x}{x+1}\to \ln 1=0$ par continuité du logarithme. Ainsi $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}⟶-\ln \frac{1}{2}=\ln 2.$$

Conclusion. La limite existe et est finie : l'intégrale converge, et $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}=\ln 2\approx 0,693.$$

Contrôle de vraisemblance. L'intégrande est positif et $\sim \frac{1}{t^2}$ en $+\infty$ : la convergence était prévisible avant tout calcul, par comparaison avec l'intégrale de Riemann d'exposant $2$.