Une intégrale de référence

Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Intégrales généralisées de référence · niveau 1 (application)

Énoncé

Étudier la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{3}}$ et calculer sa valeur.

Corrigé

Sur le segment $[1, x]$ :

$\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{3}} = [- \frac{1}{2 t ^{2}}]_{1}^{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x ^{2}} .$

Quand $x \to + \infty$ , cette quantité tend vers $\frac{1}{2}$ , qui est finie : l'intégrale converge et vaut $\frac{1}{2}$ .

Cohérence. $α = 3 > 1$ , le critère du cours le prévoyait. Et la formule générale $\int_{1}^{+ \infty} t^{- α} d t = \frac{1}{α - 1}$ donne bien $\frac{1}{2}$ .

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