Une intégrale de Riemann calculée

Le critère. Le cours donne : ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >1$. Ici $\alpha =\frac{5}{2}>1$, donc l'intégrale converge. Reste à la calculer.

Le calcul sur le segment. L'intégrande est continu sur $[1,+\infty [$. Pour $x>1$, une primitive de $t^{-5/2}$ est $\frac{t^{-3/2}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}{t}^{-3/2}$, donc $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^{5/2}}=[-\frac{2}{3t^{3/2}}{]}_1^x=\frac{2}{3}-\frac{2}{3x^{3/2}}.$$

Le passage à la limite. Quand $x\to +\infty$, $x^{3/2}\to +\infty$ donc $\frac{2}{3x^{3/2}}\to 0$. Ainsi $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{5/2}}=\frac{2}{3}.$$

Le contrôle de cohérence. La méthode générale donne, pour $\alpha >1$, $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha -1},$$ et avec $\alpha =\frac{5}{2}$ on retrouve $\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}$. On voit au passage pourquoi $\alpha =1$ échoue : la formule ferait apparaître une division par zéro, et de fait la primitive n'est plus une puissance mais un logarithme, qui n'a pas de limite finie.