Une intégrale et une série qui vont ensemble

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Comparaison série-intégrale

Énoncé

En comparant à une intégrale, montrer que $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge, puis majorer sa somme.

Corrigé

Comparaison. Pour $n ⩾ 2$ et $t \in [n - 1, n]$ , on a $t ⩽ n$ donc $\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \frac{1}{t ^{2}}$ . En intégrant sur cet intervalle de longueur $1$ :

$\frac{1}{n ^{2}} ⩽ \int_{n - 1}^{n} \frac{d t}{t ^{2}} .$

Sommation. En additionnant de $n = 2$ à $N$ :

$n = 2 \sum N \frac{1}{n ^{2}} ⩽ \int_{1}^{N} \frac{d t}{t ^{2}} = 1 - \frac{1}{N} ⩽ 1.$

Les sommes partielles de la série (à termes positifs) sont donc majorées par $1 + 1 = 2$ : elle converge, et sa somme est au plus $2$ .

Contrôle. La vraie somme vaut $\frac{π ^{2}}{6} \approx 1, 6449$ — hors programme, mais la majoration par $2$ est bien vérifiée.

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