Une intégrale et une série qui vont ensemble

Comparaison. Pour $n⩾2$ et $t\in [n-1,n]$, on a $t⩽n$ donc $\frac{1}{n^2}⩽\frac{1}{t^2}$. En intégrant sur cet intervalle de longueur $1$ :

$$\frac{1}{n^2}⩽{\int }_{n-1}^n\frac{\mathrm{d}t}{t^2}.$$

Sommation. En additionnant de $n=2$ à $N$ :

$$\sum _{n=2}^N\frac{1}{n^2}⩽{\int }_1^N\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=1-\frac{1}{N}⩽1.$$

Les sommes partielles de la série (à termes positifs) sont donc majorées par $1+1=2$ : elle converge, et sa somme est au plus $2$.

Contrôle. La vraie somme vaut $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,6449$ — hors programme, mais la majoration par $2$ est bien vérifiée.