Une intégrale exponentielle

Première. ${\int }_0^{x}3{\mathrm{e}}^{-2t}\mathrm{d}t={\left[-\frac{3}{2}{\mathrm{e}}^{-2t}\right]}_0^x=\frac{3}{2}\left(1-{\mathrm{e}}^{-2x}\right)\to \frac{3}{2}$.

Seconde. Avec $\alpha =\frac{1}{4}>0$, la formule du cours donne $\frac{1}{\alpha }=4$. En détail : ${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t/4}\mathrm{d}t=4\left(1-{\mathrm{e}}^{-x/4}\right)\to 4$.

À retenir. ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\alpha }$ dès que $\alpha >0$. Cette intégrale reviendra au chapitre 11 : c'est celle qui donne l'espérance de la loi exponentielle.