Une intégrale exponentielle

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 6 — Compléments sur les séries et intégrales généralisées · Intégrales généralisées de référence

Énoncé

Calculer $\int_{0}^{+ \infty} 3 e^{- 2 t} d t$ , puis $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t /4} d t$ .

Corrigé

Première. $\int_{0}^{x} 3 e^{- 2 t} d t = [- \frac{3}{2} e^{- 2 t}]_{0}^{x} = \frac{3}{2} (1 - e^{- 2 x}) \to \frac{3}{2}$ .

Seconde. Avec $α = \frac{1}{4} > 0$ , la formule du cours donne $\frac{1}{α} = 4$ . En détail : $\int_{0}^{x} e^{- t /4} d t = 4 (1 - e^{- x /4}) \to 4$ .

À retenir. $\int_{0}^{+ \infty} e^{- α t} d t = \frac{1}{α}$ dès que $α > 0$ . Cette intégrale reviendra au chapitre 11 : c'est celle qui donne l'espérance de la loi exponentielle.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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