Une intégrale exponentielle

Le cadre. L'intégrande est continu sur $[0,+\infty [$. Le cours donne ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha t}\mathrm{d}t=\frac{1}{\alpha }$ pour $\alpha >0$ ; ici $\alpha =\frac{1}{2}>0$, donc l'intégrale converge. Refaisons le calcul, comme il est attendu, sur le segment d'abord.

Le calcul sur $[0,x]$. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{-t/2}$ est $-2{\mathrm{e}}^{-t/2}$ (on le vérifie en dérivant : $-2\times \left(-\frac{1}{2}\right){\mathrm{e}}^{-t/2}={\mathrm{e}}^{-t/2}$). Donc $${\int }_0^{x}5{\mathrm{e}}^{-t/2}\mathrm{d}t=5[-2{\mathrm{e}}^{-t/2}{]}_0^x=-10{\mathrm{e}}^{-x/2}+10.$$

Le passage à la limite. Quand $x\to +\infty$, $-\frac{x}{2}\to -\infty$ donc ${\mathrm{e}}^{-x/2}\to 0$. Ainsi $${\int }_0^{+\infty }5{\mathrm{e}}^{-t/2}\mathrm{d}t=10.$$

Contrôle par la formule du cours. $5\times \frac{1}{1/2}=5\times 2=10$. Les deux méthodes concordent.

Où cela sert. Une fonction de la forme $t\mapsto \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ sur $[0,+\infty [$ a une intégrale égale à $1$ : c'est la densité de la loi exponentielle, qu'on retrouvera au chapitre sur les variables à densité.