Une intégrale qui ne converge sur aucune des deux moitiés

La définition à respecter. Le cours définit ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f$ en coupant en deux morceaux qui doivent converger tous les deux, par exemple ${\int }_{-\infty }^0$ et ${\int }_0^{+\infty }$. Il ne suffit pas qu'une limite symétrique existe.

La moitié droite diverge. L'intégrande est continu sur $\mathbb{R}$ (le dénominateur ne s'annule jamais). Pour $x>0$, une primitive se lit en reconnaissant la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ avec $u(t)=1+t^2$ et $u^{\prime }(t)=2t$ : $${\int }_0^x\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^x\frac{2t}{1+t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[\ln (1+t^2){]}_0^x=\frac{1}{2}\ln (1+x^2).$$ Quand $x\to +\infty$, $1+x^2\to +\infty$ donc $\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\to +\infty$ : ${\int }_0^{+\infty }$ diverge.

Conclusion sur l'intégrale sur $\mathbb{R}$. L'un des deux morceaux diverge, donc ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t$ diverge. (La moitié gauche diverge d'ailleurs elle aussi, vers $-\infty$.)

L'intégrale symétrique, elle, vaut $0$. Pour $a>0$, la fonction $t\mapsto \frac{t}{1+t^2}$ est impaire : $f(-t)=-f(t)$. Le calcul direct le confirme : $${\int }_{-a}^a\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[\ln (1+t^2){]}_{-a}^a=\frac{1}{2}(\ln (1+a^2)-\ln (1+a^2))=0.$$ Donc cette quantité tend vers $0$ quand $a\to +\infty$.

Le point délicat, et il est essentiel. L'existence de ${\lim }_{a\to +\infty }{\int }_{-a}^{a}f$ ne prouve pas la convergence de ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f$. Ici la limite symétrique vaut $0$, et pourtant l'intégrale diverge : les deux infinis se compensent artificiellement parce qu'on les fait grandir au même rythme. La définition impose de traiter les deux moitiés séparément, et c'est exactement pour éviter ce mirage.