Une intégrale sur la droite entière

On coupe en deux morceaux, qui doivent converger tous les deux.

Sur $[0,+\infty [$ : ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$.

Sur $]-\infty ,0]$ : $|t|=-t$, donc l'intégrande vaut ${\mathrm{e}}^t$, et ${\int }_x^0{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^x\to 1$ quand $x\to -\infty$.

Les deux convergent, donc l'intégrale converge et vaut $1+1=2$.

Par symétrie. La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-|t|}$ est paire : l'intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut le double de celle sur $[0,+\infty [$, soit $2$. Le même résultat, en une ligne.

Remarque. $\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|t|}$ est donc une densité de probabilité — celle de la loi de Laplace. Le chapitre 11 exploitera ce genre de vérification.