Une intégration par parties, faite sur le segment

Le cadre. L'intégrande $t\mapsto \frac{\ln t}{t^2}$ est continu sur $[1,+\infty [$. Conformément au programme, l'intégration par parties se pratique sur un segment : on travaille sur $[1,x]$ avec $x>1$, puis on passe à la limite.

L'intégration par parties. Posons $$u(t)=\ln t,u^{\prime }(t)=\frac{1}{t},v^{\prime }(t)=\frac{1}{t^2},v(t)=-\frac{1}{t}.$$ Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[1,x]$, donc $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=[-\frac{\ln t}{t}{]}_1^x+{\int }_1^x\frac{1}{t}\times \frac{1}{t}\mathrm{d}t=-\frac{\ln x}{x}+0+{\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2},$$ le terme en $t=1$ s'annulant car $\ln 1=0$.

La seconde intégrale. $${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t^2}=[-\frac{1}{t}{]}_1^x=1-\frac{1}{x}.$$

Le bilan sur le segment. $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t=1-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}.$$

Le passage à la limite. Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$ ; et $\frac{1}{x}\to 0$. Donc $${\int }_1^x\frac{\ln t}{t^2}\mathrm{d}t⟶1.$$ La limite existe et est finie : l'intégrale converge et vaut $1$.

Le point de méthode. On n'écrit jamais l'intégration par parties directement entre $1$ et $+\infty$ : les crochets n'auraient pas de sens tant que la convergence n'est pas acquise. Le segment d'abord, la limite ensuite.