Une intégration par parties, sur le segment d'abord

On calcule sur un segment. Le programme l'impose : l'intégration par parties ne se pratique que sur $[0,x]$. Avec $u(t)=t$ et $v^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{-t}$, donc $u^{\prime }(t)=1$ et $v(t)=-{\mathrm{e}}^{-t}$, toutes deux de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-t{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x+{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$$

La valeur sur le segment. Le crochet vaut $-x{\mathrm{e}}^{-x}$ et l'intégrale restante $1-{\mathrm{e}}^{-x}$, donc $${\int }_0^{x}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-x{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-x}.$$

Le passage à la limite. Par croissances comparées, $x{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$, et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$. L'intégrale sur $[0,x]$ tend donc vers $1$, qui est fini : l'intégrale généralisée converge et vaut $1$.

Le point délicat. Il ne faut pas écrire un crochet entre $0$ et $+\infty$ dès la première ligne : ce serait manipuler une quantité dont l'existence n'est pas encore établie. On termine le calcul sur le segment, puis on prend la limite de l'expression entière.

Le point à retenir. Cette intégrale est l'espérance de la loi exponentielle de paramètre $1$ : $E(X)={\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1$. C'est précisément pour cela que le chapitre existe.