Une série à comparer

Positivité. Pour $n⩾1$, numérateur et dénominateur sont strictement positifs, donc le terme général l'est aussi : les règles de comparaison s'appliquent.

L'équivalent. Factorisons le terme dominant en haut et en bas : $$\frac{2n+3}{n^2+1}=\frac{2n\left(1+\frac{3}{2n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)},$$ et les deux parenthèses tendent vers $1$. Donc $$\frac{2n+3}{n^2+1}\sim \frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}.$$

La conclusion. $\sum \frac{2}{n}=2\sum \frac{1}{n}$ diverge, puisque la série harmonique diverge et qu'un facteur constant non nul ne change pas la nature. Deux séries à termes positifs de termes équivalents ayant même nature, $$\sum _{n⩾1}\frac{2n+3}{n^2+1}\text{diverge}.$$

Le réflexe à installer. Devant un quotient de deux polynômes, l'équivalent est le quotient des termes de plus haut degré : ici $\frac{2n}{n^2}$, soit un comportement en $\frac{1}{n}$. La règle générale qui en découle : une telle série converge si et seulement si le degré du dénominateur dépasse celui du numérateur d'au moins $2$. Ici la différence n'est que de $1$ : c'est trop peu.