Une série qui dépend d'un paramètre

Positivité. Le terme général $u_n=\frac{n^{\alpha }}{n^3+1}$ est positif : les règles de comparaison des séries à termes positifs s'appliquent.

Équivalent. En $+\infty$, $n^3+1\sim n^3$, et le quotient d'équivalents est permis : $$u_n\sim \frac{n^{\alpha }}{n^3}=\frac{1}{n^{3-\alpha }}.$$

Conclusion. C'est le terme d'une série de Riemann d'exposant $3-\alpha$, et deux séries à termes positifs équivalents sont de même nature. Donc $$\sum u_n\text{ converge}⟺3-\alpha >1⟺\alpha <2.$$ La série converge pour $0<\alpha <2$ et diverge pour $\alpha ⩾2$.

Le cas frontière. Pour $\alpha =2$, $u_n\sim \frac{1}{n}$ : c'est la série harmonique, qui diverge. La frontière appartient au camp de la divergence, comme toujours pour Riemann.

Contrôle sur un cas connu. $\alpha =1$ donne $\sum \frac{n}{n^3+1}$, de terme équivalent à $\frac{1}{n^2}$ : convergente, et $1<2$ le prévoyait.

Le point à retenir. Un paramètre ne change rien à la méthode : on remplace le terme par son équivalent, on lit l'exposant de Riemann, et l'on résout l'inéquation « exposant $>1$ ».