Une somme qui se calcule par différence

Convergence d'abord. Par croissances comparées, $n^3=o(2^n)$, donc $$\frac{n}{2^n}=\frac{n^3}{2^n}\times \frac{1}{n^2}=o\left(\frac{1}{n^2}\right),$$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha =2>1$). La série, à termes positifs, converge donc. Ce n'est qu'à partir d'ici que $S$ désigne un nombre.

Le décalage. Notons $S={\sum }_{n=1}^{+\infty }\frac{n}{2^n}$. En divisant par $2$ et en posant $m=n+1$ : $$\frac{S}{2}=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{n}{2^{n+1}}=\sum _{m=2}^{+\infty }\frac{m-1}{2^m}.$$

La différence. On retranche cette égalité de $S$. Pour $m⩾2$, les termes se répondent deux à deux : $\frac{m}{2^m}-\frac{m-1}{2^m}=\frac{1}{2^m}$. Il reste en plus le terme $m=1$ de $S$, qui vaut $\frac{1}{2}$. Donc $$S-\frac{S}{2}=\frac{1}{2}+\sum _{m=2}^{+\infty }\frac{1}{2^m}=\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{1}{2^m}=1,$$ la dernière somme étant celle d'une série géométrique de raison $\frac{1}{2}$.

Conclusion. $\frac{S}{2}=1$, donc $S=2$.

Contrôle numérique. Les sommes partielles valent $0,5$ ; $1$ ; $1,375$ ; $1,625$ pour $N=1,2,3,4$, et $1,9609$ pour $N=8$ : elles montent vers $2$.

Le point à retenir. La convergence se prouve avant tout calcul. Manipuler $S$ comme un nombre alors qu'on ignore s'il existe est la faute qui rend « $1+2+4+\dots$ » égal à n'importe quoi.