Une somme télescopique

Décomposition. On cherche $a,b$ tels que $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+2}$. En réduisant : $a(n+2)+bn=1$ pour tout $n$, d'où $a+b=0$ et $2a=1$ : $a=\frac{1}{2}$, $b=-\frac{1}{2}$.

Somme partielle.

$$S_N=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right),$$

car les termes s'annulent deux crans plus loin : il survit les deux premiers et les deux derniers.

Limite. $S_N\to \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$.

Contrôle numérique. $S_{1000}=0,749001\dots$, qui approche bien $0,75$ — l'écart vaut $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}\right)\approx 0,000999$, exactement ce que la formule annonce.