Ajouter le point moyen ne change rien

Le nouveau point moyen. La somme des abscisses devient $\sum x_i+\bar{x}=n\bar{x}+\bar{x}=(n+1)\bar{x}$, et il y a désormais $n+1$ observations : $${\bar{x}}_{\text{new}}=\frac{(n+1)\bar{x}}{n+1}=\bar{x}.$$ De même ${\bar{y}}_{\text{new}}=\bar{y}$. Le point moyen ne bouge pas — c'est ce qui rend la suite du calcul possible, puisque les écarts à la moyenne sont inchangés pour les $n$ points initiaux.

La nouvelle covariance. Le point ajouté a pour écarts $\bar{x}-\bar{x}=0$ et $\bar{y}-\bar{y}=0$ : sa contribution au produit est nulle. Donc $$s_{xy}^{\text{new}}=\frac{1}{n+1}\left(\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})+0\right)=\frac{1}{n+1}\times n{s}_{xy}=\frac{n}{n+1}{s}_{xy}.$$

La nouvelle variance. Le même argument, avec $y=x$ : $$s_x^{2,\text{new}}=\frac{n}{n+1}{s}_x^2.$$

La pente. Le facteur $\frac{n}{n+1}$ apparaît au numérateur et au dénominateur, donc il se simplifie : $$a_{\text{new}}=\frac{s_{xy}^{\text{new}}}{s_x^{2,\text{new}}}=\frac{\frac{n}{n+1}{s}_{xy}}{\frac{n}{n+1}{s}_x^2}=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=a.$$

L'ordonnée à l'origine. $b_{\text{new}}={\bar{y}}_{\text{new}}-a_{\text{new}}{\bar{x}}_{\text{new}}=\bar{y}-a\bar{x}=b$. La droite est donc exactement la même.

Ce que cela éclaire. Une observation qui tombe pile sur le point moyen n'apporte aucune information sur la relation entre $x$ et $y$ : elle ne contribue ni à la covariance ni à la variance. À l'inverse, ce sont les points les plus éloignés de $G$ en abscisse qui pèsent le plus lourd dans la détermination de la pente.