Calculer et interpréter r

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Lire un coefficient de corrélation

Énoncé

Pour une série statistique, $s_{x y} = 6$ , $s_{x} = 2$ et $s_{y} = 5$ . Calculer $r_{x y}$ et interpréter. Cette valeur est-elle possible ?

Corrigé

Le calcul. $r_{x y} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{6}{2 \times 5} = \frac{6}{10} = 0, 6.$

La valeur est possible. Le cours établit $- 1 ⩽ r_{x y} ⩽ 1$ ; ici $0, 6$ est bien dans l'intervalle. On peut le vérifier autrement : la condition $∣ r ∣ ⩽ 1$ équivaut à $∣ s_{x y} ∣ ⩽ s_{x} s_{y}$ , c'est-à-dire ici $6 ⩽ 10$ , ce qui est vrai.

L'interprétation. $r_{x y} = 0, 6$ est positif : les deux variables varient plutôt dans le même sens, le nuage penche à droite. Mais la valeur reste éloignée de $1$ : l'alignement est partiel, le nuage est nettement dispersé autour de sa droite de régression. On ne parlerait de forte corrélation linéaire qu'au-delà de $0, 9$ environ.

Ce que $r$ ne dit pas. Il ne dit rien de la pente : celle-ci vaut $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}} = \frac{6}{4} = 1, 5$ , mais elle aurait pu valoir n'importe quoi avec le même $r$ , selon les unités choisies. Et il ne dit rien d'une éventuelle causalité entre les deux grandeurs.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.