Ce que devient chaque résumé après changement d'unité

Les moyennes. La moyenne est linéaire : $$\overline{x^{\prime }}=\frac{1}{n}\sum (\alpha x_i+\beta )=\alpha \bar{x}+\beta ,\overline{y^{\prime }}=\gamma \bar{y}+\delta .$$

Les écarts à la moyenne. C'est le calcul décisif : les constantes disparaissent. $$x_i^{\prime }-\overline{x^{\prime }}=(\alpha x_i+\beta )-(\alpha \bar{x}+\beta )=\alpha (x_i-\bar{x}),y_i^{\prime }-\overline{y^{\prime }}=\gamma (y_i-\bar{y}).$$

La covariance. En reportant dans la définition : $$s_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{1}{n}\sum \alpha (x_i-\bar{x})\gamma (y_i-\bar{y})=\alpha \gamma s_{xy}.$$

La variance. Cas particulier $y=x$, $\gamma =\alpha$ : $$s_{x^{\prime }}^2={\alpha }^2{s}_x^2,\text{donc}{s}_{x^{\prime }}=|\alpha |s_x,$$ l'écart-type étant positif par définition — d'où la valeur absolue.

Le coefficient de corrélation. $$r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{\alpha \gamma s_{xy}}{|\alpha |s_x\cdot |\gamma |s_y}=\frac{\alpha \gamma }{|\alpha \gamma |}{r}_{xy}.$$ Autrement dit $r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=r_{xy}$ si $\alpha$ et $\gamma$ sont de même signe, et $r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=-r_{xy}$ s'ils sont de signes contraires.

Lecture. Les translations $\beta$ et $\delta$ n'ont aucun effet : ni sur la covariance, ni sur les variances, ni sur $r$. Les facteurs d'échelle, eux, modifient $s_{xy}$ et $s_x^2$, mais se simplifient dans $r$ : c'est ce qui rend le coefficient de corrélation sans unité, donc comparable d'une étude à l'autre.