Changer d'unité

Les moyennes. Par linéarité de la moyenne, $\overline{x^{\prime }}=100\bar{x}$ et $\overline{y^{\prime }}=\bar{y}+5$. Les écarts au point moyen deviennent donc $$x_i^{\prime }-\overline{x^{\prime }}=100(x_i-\bar{x}),y_i^{\prime }-\overline{y^{\prime }}=y_i-\bar{y}.$$ L'addition d'une constante ne change aucun écart : elle déplace le nuage sans le déformer.

La covariance. $s_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{1}{n}\sum 100(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=100s_{xy}$.

Les variances. $s_{x^{\prime }}^2=\frac{1}{n}\sum 100^2(x_i-\bar{x}{)}^2=10000s_x^2$, donc $s_{x^{\prime }}=100s_x$. Et $s_{y^{\prime }}=s_y$, inchangé.

La corrélation. $$r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{100s_{xy}}{100s_x\times s_y}=r_{xy}.$$ Elle est inchangée : c'est ce qui la rend comparable d'une étude à l'autre.

La pente. $$a^{\prime }=\frac{s_{x^{\prime }{y}^{\prime }}}{s_{x^{\prime }}^2}=\frac{100s_{xy}}{10000s_x^2}=\frac{a}{100}.$$ Ce qui se comprend : si $x$ se mesure en centimes plutôt qu'en euros, la même hausse de $y$ correspond à cent fois plus d'unités de $x$.

Le point à retenir. La corrélation est sans dimension, la pente ne l'est pas. Un changement d'unité laisse la première intacte et divise la seconde par le facteur d'échelle. Une pente ne se commente donc jamais sans son unité.