Changer d'unité, et ce qui résiste

Le coefficient initial. $$r_{xy}=\frac{800}{2\times 500}=\frac{800}{1000}=0,8.$$

Le changement d'unité. Passer des euros aux milliers d'euros revient à poser $y_i^{\prime }=\frac{y_i}{1000}$, c'est-à-dire à multiplier par $\gamma =\frac{1}{1000}$. Les écarts à la moyenne sont multipliés par le même facteur, puisque la moyenne l'est aussi.

Le nouvel écart-type. $$s_{y^{\prime }}=|\gamma |s_y=\frac{500}{1000}=0,5\text{(milliers d’euros)}.$$

La nouvelle covariance. Elle est multipliée par $\gamma$ (la variable $x$ ne change pas) : $$s_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\gamma s_{xy}=\frac{800}{1000}=0,8.$$

Le nouveau coefficient de corrélation. $$r_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=\frac{0,8}{2\times 0,5}=\frac{0,8}{1}=0,8=r_{xy}.$$ Il n'a pas bougé : le facteur $\gamma$ apparaît une fois au numérateur et une fois au dénominateur, et se simplifie.

Ce qu'il faut retenir. La covariance et l'écart-type portent des unités et changent avec elles ; $r_{xy}$ est sans unité et n'en dépend pas. C'est précisément ce qui permet de comparer la corrélation de deux études menées avec des unités différentes.