Cinq observations, trois résumés

Le point moyen. Ici $n=5$. $$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6,\bar{y}=\frac{1+4+5+8+12}{5}=\frac{30}{5}=6.$$ Donc $G=(6,6)$.

La covariance. La formule de Koenig-Huygens, $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum x_i{y}_i-\bar{x}\bar{y}$, évite de soustraire les moyennes cinq fois. Les produits valent $$2,16,30,64,120,\text{de somme }232.$$ Donc $$s_{xy}=\frac{232}{5}-6\times 6=46,4-36=10,4.$$ Elle est positive : le nuage penche à droite.

Les variances. Même formule avec $y=x$, puis avec $x=y$ : $$\sum x_i^2=4+16+36+64+100=220,s_x^2=\frac{220}{5}-36=44-36=8,$$ $$\sum y_i^2=1+16+25+64+144=250,s_y^2=\frac{250}{5}-36=50-36=14.$$ D'où $s_x=\sqrt{8}\approx 2,828$ et $s_y=\sqrt{14}\approx 3,742$.

Le coefficient de corrélation. $$r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}=\frac{10,4}{2,828\times 3,742}\approx \frac{10,4}{10,583}\approx 0,983.$$

Lecture. $r_{xy}$ est très proche de $+1$ : les cinq points sont presque alignés sur une droite montante. « Presque » et non « exactement » : $|r|=1$ exigerait un alignement parfait, et le point $(6,5)$ s'en écarte légèrement.