Corrélation nulle sans indépendance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Covariance et corrélation

Énoncé

Soit la série $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$ . Calculer $r_{x y}$ et commenter.

Corrigé

Moyennes. $x ˉ = 0$ et $y ˉ = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$ .

Covariance. $s_{x y} = \frac{1}{5} \sum x_{i} (y_{i} - 2)$ , soit

$\frac{1}{5} [(- 2) (2) + (- 1) (- 1) + 0 + (1) (- 1) + (2) (2)] = \frac{- 4 + 1 + 0 - 1 + 4}{5} = 0.$

Donc $r_{x y} = 0$ .

Commentaire. Et pourtant $y_{i} = x_{i}^{2}$ exactement : la relation est parfaite, mais elle n'est pas linéaire. Le coefficient de corrélation ne mesure que l'alignement, et une parabole symétrique n'a aucune pente moyenne.

La morale. $r = 0$ ne signifie jamais « pas de relation », seulement « pas de relation linéaire ». D'où l'obligation de tracer le nuage avant de conclure.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.