Corrélation parfaite

Statistiques bivariées et régression linéaire · Covariance et corrélation · niveau 2

Énoncé

Montrer que si $y_{i} = 3 x_{i} + 4$ pour tout $i$ , alors $r_{x y} = 1$ .

Corrigé

Moyenne. $y ˉ = 3 x ˉ + 4$ , donc $y_{i} - y ˉ = 3 (x_{i} - x ˉ)$ .

Covariance. $s_{x y} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - x ˉ) \cdot 3 (x_{i} - x ˉ) = 3 s_{x}^{2}$ .

Écart-type. $s_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum 9 (x_{i} - x ˉ)^{2} = 9 s_{x}^{2}$ , donc $s_{y} = 3 s_{x}$ (le coefficient $3$ étant positif).

Conclusion. $r_{x y} = \frac{3 s _{x}^{2}}{s _{x} \times 3 s _{x}} = 1$ .

Et si la pente était négative ? Avec $y_{i} = - 3 x_{i} + 4$ , on aurait $s_{y} = 3 s_{x}$ toujours (l'écart-type est positif) mais $s_{x y} = - 3 s_{x}^{2}$ , donc $r_{x y} = - 1$ . Le signe de $r$ est celui de la pente.

Énoncé

Corrigé

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