Des résumés aux deux pentes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Corrélation, alignement et changement d'unité

Énoncé

Pour une série statistique, on donne $s_{x} = 3$ , $s_{y} = 5$ et $r_{x y} = - 0, 6$ . Calculer $s_{x y}$ , la pente $a$ de la régression de $y$ en $x$ , la pente $a^{'}$ de la régression de $x$ en $y$ , et vérifier la relation $a a^{'} = r_{x y}^{2}$ .

Corrigé

La covariance. Par définition $r_{x y} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ , donc $s_{x y} = r_{x y} s_{x} s_{y} = - 0, 6 \times 3 \times 5 = - 9.$ Elle est négative, comme le signe de $r$ l'annonçait : le nuage penche à gauche.

La pente de $y$ en $x$ . $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}} = \frac{- 9}{9} = - 1.$ Une augmentation d'une unité de $x$ s'accompagne, en moyenne, d'une baisse d'une unité de $y$ .

La pente de $x$ en $y$ . Le cours donne la formule symétrique : $a^{'} = \frac{s _{x y}}{s _{y}^{2}} = \frac{- 9}{25} = - 0, 36.$

La vérification. $a \times a^{'} = (- 1) \times (- 0, 36) = 0, 36, r_{x y}^{2} = (- 0, 6)^{2} = 0, 36.$ La relation est vérifiée. Ce n'est pas un hasard : $a a^{'} = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}} \times \frac{s _{x y}}{s _{y}^{2}} = \frac{s _{x y}^{2}}{s _{x}^{2} s _{y}^{2}} = r_{x y}^{2} .$

Le point à ne pas confondre. Les deux pentes valent $- 1$ et $- 0, 36$ : les deux droites sont différentes, bien qu'elles passent toutes deux par le point moyen. Écrire « la droite de régression » sans préciser laquelle des deux variables on explique est une faute de méthode. Ici $∣ r ∣ = 0, 6 \neq = 1$ , et c'est exactement pourquoi les deux droites ne coïncident pas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.