Deux droites, et tout le reste

La corrélation. Le cours donne $a\times a^{\prime }=r_{xy}^2$, où $a=0,6$ et $a^{\prime }=1,2$ sont les deux pentes. Donc $$r_{xy}^2=0,6\times 1,2=0,72,r_{xy}=\pm \sqrt{0,72}\approx \pm 0,8485.$$

Le signe. $a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}$ est positif et $s_x^2>0$, donc $s_{xy}>0$, donc $r_{xy}>0$. On retient $r_{xy}\approx 0,8485$.

Le point moyen. Les deux droites passent par $G=(\bar{x},\bar{y})$, et c'est leur unique point commun dès que $|r_{xy}|\ne 1$. On résout donc $$\bar{y}=0,6\bar{x}+2,\bar{x}=1,2\bar{y}-1.$$ En reportant la première dans la seconde : $$\bar{x}=1,2(0,6\bar{x}+2)-1=0,72\bar{x}+1,4,$$ d'où $0,28\bar{x}=1,4$ et $\bar{x}=5$. Puis $\bar{y}=0,6\times 5+2=5$.

Vérification. La seconde équation donne $1,2\times 5-1=5=\bar{x}$ : les deux droites se coupent bien en $G=(5,5)$.

Le point à retenir. Les deux droites de régression suffisent à reconstituer la corrélation et le point moyen, sans jamais voir une seule donnée. L'angle qu'elles forment mesure la qualité de l'ajustement : elles se confondent si et seulement si $|r_{xy}|=1$.