Deux droites, et tout le reste

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Droite de régression et prévision

Énoncé

Pour une série statistique, la droite de régression de $y$ en $x$ est $y = 0, 6 x + 2$ , et celle de $x$ en $y$ est $x = 1, 2 y - 1$ . Déterminer $r_{x y}$ et le point moyen.

Corrigé

La corrélation. Le cours donne $a \times a^{'} = r_{x y}^{2}$ , où $a = 0, 6$ et $a^{'} = 1, 2$ sont les deux pentes. Donc $r_{x y}^{2} = 0, 6 \times 1, 2 = 0, 72, r_{x y} = \pm 0, 72 \approx \pm 0, 8485.$

Le signe. $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}}$ est positif et $s_{x}^{2} > 0$ , donc $s_{x y} > 0$ , donc $r_{x y} > 0$ . On retient $r_{x y} \approx 0, 8485$ .

Le point moyen. Les deux droites passent par $G = (x ˉ, y ˉ)$ , et c'est leur unique point commun dès que $∣ r_{x y} ∣ \neq = 1$ . On résout donc $y ˉ = 0, 6 x ˉ + 2, x ˉ = 1, 2 y ˉ - 1.$ En reportant la première dans la seconde : $x ˉ = 1, 2 (0, 6 x ˉ + 2) - 1 = 0, 72 x ˉ + 1, 4,$ d'où $0, 28 x ˉ = 1, 4$ et $x ˉ = 5$ . Puis $y ˉ = 0, 6 \times 5 + 2 = 5$ .

Vérification. La seconde équation donne $1, 2 \times 5 - 1 = 5 = x ˉ$ : les deux droites se coupent bien en $G = (5, 5)$ .

Le point à retenir. Les deux droites de régression suffisent à reconstituer la corrélation et le point moyen, sans jamais voir une seule donnée. L'angle qu'elles forment mesure la qualité de l'ajustement : elles se confondent si et seulement si $∣ r_{x y} ∣ = 1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.