Les deux droites coïncident-elles jamais ?

Les deux droites. La première a pour équation $y=ax+b$ avec $a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}$. La seconde a pour équation $x=a^{\prime }y+b^{\prime }$ avec $a^{\prime }=\frac{s_{xy}}{s_y^2}$. Toutes deux passent par $G=(\bar{x},\bar{y})$.

Traitons d'abord le cas $s_{xy}=0$. Alors $a=a^{\prime }=0$ et $r_{xy}=0$. La première droite est horizontale ($y=\bar{y}$), la seconde verticale ($x=\bar{x}$) : elles ne coïncident pas, et $|r_{xy}|=0\ne 1$. L'équivalence est vérifiée dans ce cas.

Supposons maintenant $s_{xy}\ne 0$, donc $a\ne 0$ et $a^{\prime }\ne 0$. La seconde droite se réécrit alors comme un graphe : $$x=a^{\prime }y+b^{\prime }⟺y=\frac{1}{a^{\prime }}x-\frac{b^{\prime }}{a^{\prime }}.$$ Elle a donc pour pente $\frac{1}{a^{\prime }}$.

La condition de coïncidence. Deux droites non verticales passant par le même point $G$ coïncident si et seulement si elles ont la même pente. Ici : $$a=\frac{1}{a^{\prime }}⟺a{a}^{\prime }=1.$$

Traduction en $r$. Le cours donne $a{a}^{\prime }=r_{xy}^2$, ce qu'on retrouve en multipliant les deux formules : $$a{a}^{\prime }=\frac{s_{xy}}{s_x^2}\times \frac{s_{xy}}{s_y^2}=\frac{s_{xy}^2}{s_x^2{s}_y^2}=r_{xy}^2.$$ Donc les droites coïncident si et seulement si $r_{xy}^2=1$, c'est-à-dire $|r_{xy}|=1$.

Ce que cela signifie. $|r_{xy}|=1$ caractérise l'alignement parfait du nuage. Il n'y a alors qu'une droite, celle qui porte tous les points, et les deux régressions la retrouvent. Dès qu'un seul point s'en écarte, les deux droites se séparent — et l'écart entre elles est une mesure visuelle de l'imperfection de l'ajustement.