Les résidus et leur somme

Les résumés. $\bar{x}=\frac{0+1+2+3}{4}=1,5$ et $\bar{y}=\frac{1+4+4+7}{4}=4$. Les produits $x_i{y}_i$ valent $0,4,8,21$, de somme $33$, donc $$s_{xy}=\frac{33}{4}-1,5\times 4=8,25-6=2,25.$$ Les carrés $x_i^2$ valent $0,1,4,9$, de somme $14$, donc $$s_x^2=\frac{14}{4}-1,5^2=3,5-2,25=1,25.$$

La droite. $$a=\frac{2,25}{1,25}=1,8,b=4-1,8\times 1,5=4-2,7=1,3,y=1,8x+1,3.$$

Les résidus $e_i=y_i-(a{x}_i+b)$. Les valeurs prédites sont $1,3$ ; $3,1$ ; $4,9$ ; $6,7$, donc $$e_1=-0,3,e_2=0,9,e_3=-0,9,e_4=0,3.$$ Leur somme vaut $-0,3+0,9-0,9+0,3=0$.

Le cas général. Ce n'est pas une coïncidence. Pour une série quelconque, $$\sum _{i=1}^n{e}_i=\sum y_i-a\sum x_i-nb=n\bar{y}-an\bar{x}-nb=n(\bar{y}-a\bar{x}-b).$$ Or la formule du cours donne exactement $b=\bar{y}-a\bar{x}$, donc la parenthèse est nulle et $\sum e_i=0$.

Ce qu'il faut en conclure. La somme des résidus est nulle par construction : elle ne prouve donc rien sur la qualité de l'ajustement. Un mauvais ajustement a lui aussi des résidus de somme nulle — ce qui se regarde, c'est leur taille et l'existence d'une structure dans leurs signes (ici $-,+,-,+$, ce qui est plutôt rassurant).