Point moyen et variance

Le point moyen. Avec $n=4$ : $$\bar{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=\frac{20}{4}=5,\bar{y}=\frac{1+5+3+7}{4}=\frac{16}{4}=4.$$ Donc $G=(5,4)$.

La variance de $x$, par Koenig-Huygens. La formule $s_x^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$ évite de calculer quatre écarts. $$\sum x_i^2=4+16+36+64=120,s_x^2=\frac{120}{4}-5^2=30-25=5.$$

Vérification par la définition. Les écarts $x_i-\bar{x}$ valent $-3,-1,1,3$, de carrés $9,1,1,9$ et de somme $20$. Donc $s_x^2=\frac{20}{4}=5$. Les deux calculs concordent.

L'écart-type. $s_x=\sqrt{5}\approx 2,236$. Il s'exprime dans la même unité que $x$, contrairement à la variance qui est en unités au carré — c'est pourquoi on le préfère pour décrire une dispersion.

Attention au diviseur. Le chapitre divise par $n$, ici $4$. Certaines calculatrices et bibliothèques divisent par $n-1$ et rendraient $\frac{20}{3}\approx 6,67$. Il faut savoir lequel des deux on lit.