Pourquoi la corrélation reste entre moins un et un

Développement. Développons le carré et séparons les trois sommes : $$P(t)=\frac{1}{n}\sum (t^2(x_i-\bar{x}{)}^2+2t(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})+(y_i-\bar{y}{)}^2),$$ soit, en reconnaissant les définitions de la variance et de la covariance, $$P(t)=s_x^2{t}^2+2s_{xy}t+s_y^2.$$

$P$ est positive. C'est une moyenne de carrés : $P(t)⩾0$ pour tout réel $t$, sans aucune hypothèse.

Le discriminant. Comme $s_x\ne 0$, $P$ est un trinôme du second degré de coefficient dominant $s_x^2>0$. Un tel trinôme est positif sur $\mathbb{R}$ tout entier si et seulement si son discriminant est négatif ou nul : $$\Delta =(2s_{xy}{)}^2-4s_x^2{s}_y^2⩽0,\text{soit}{s}_{xy}^2⩽s_x^2{s}_y^2.$$ En prenant les racines carrées (toutes les quantités sont positives) : $|s_{xy}|⩽s_x{s}_y$. Si de plus $s_y\ne 0$, on divise : $$|r_{xy}|=\frac{|s_{xy}|}{s_x{s}_y}⩽1.$$

Le cas d'égalité. $|r_{xy}|=1$ équivaut à $\Delta =0$, c'est-à-dire à l'existence d'une racine (double) $t_0$ de $P$. Alors $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(t_0(x_i-\bar{x})+(y_i-\bar{y}){)}^2=0.$$ Une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque carré l'est, donc pour tout $i$, $$y_i-\bar{y}=-t_0(x_i-\bar{x}).$$ Tous les points $(x_i,y_i)$ sont donc sur la droite passant par $G$ de coefficient directeur $-t_0$ : le nuage est aligné. Réciproquement, si les points sont alignés, cette relation fournit une racine de $P$ et $\Delta =0$.

Ce que la preuve éclaire. Le nombre $r_{xy}$ ne mesure rien d'autre que la distance du nuage à un alignement parfait.