Pourquoi la droite passe par le point moyen

$g$ est un trinôme en $b$. Développons chaque carré en posant $c_i=y_i-a{x}_i$ : $$g(b)=\sum _{i=1}^n(c_i-b{)}^2=\sum c_i^2-2b\sum c_i+n{b}^2.$$ C'est bien un polynôme du second degré en $b$, de coefficient dominant $n>0$ : il admet donc un minimum, atteint en l'unique point où sa dérivée s'annule.

Le calcul du minimum. $$g^{\prime }(b)=-2\sum _{i=1}^n{c}_i+2nb,$$ qui s'annule pour $$b=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{c}_i=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i)=\frac{1}{n}\sum y_i-a\cdot \frac{1}{n}\sum x_i=\bar{y}-a\bar{x}.$$ Comme le coefficient dominant est positif, $g$ décroît puis croît : ce point est bien le minimum.

Conséquence sur la droite. La droite des moindres carrés minimise $\sum (y_i-a{x}_i-b{)}^2$ sur les deux paramètres $a$ et $b$. Quelle que soit la valeur optimale de $a$, le $b$ associé doit minimiser $g$ à $a$ fixé, donc vaut nécessairement $\bar{y}-a\bar{x}$. C'est exactement la formule du cours.

Le passage par $G$. L'ordonnée de la droite en $x=\bar{x}$ vaut $$a\bar{x}+b=a\bar{x}+\bar{y}-a\bar{x}=\bar{y}.$$ Le point $(\bar{x},\bar{y})=G$ appartient donc à la droite.

Ce qu'il faut retenir. Le passage par $G$ n'est pas une propriété surprenante : il est équivalent à la formule $b=\bar{y}-a\bar{x}$, et sert en pratique de vérification immédiate d'un calcul de régression.