Prévoir un signe sans calculer

Le principe. La covariance est la moyenne des produits $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$. Un point situé du même côté de $\bar{x}$ et de $\bar{y}$ (en haut à droite ou en bas à gauche du point moyen) donne un produit positif ; un point situé de part et d'autre donne un produit négatif.

Série $A$ : covariance positive. Les $y_i$ croissent en même temps que les $x_i$. Les deux premiers points sont sous les deux moyennes (produits de deux négatifs, donc positifs), le troisième est sur la moyenne $\bar{y}=5$ (produit nul) et le dernier au-dessus (produit de deux positifs). Les produits sont positifs ou nuls, et non tous nuls, donc $s_{xy}>0$.

Série $B$ : covariance négative. Ici $y$ décroît quand $x$ croît. Les points de petite abscisse ont une grande ordonnée (produit négatif) et inversement. Le point $(3,5)$, sur la moyenne $\bar{y}=5$, donne un produit nul ; les autres sont négatifs, donc $s_{xy}<0$.

Série $C$ : covariance nulle. Tous les $y_i$ valent $3$, donc $\bar{y}=3$ et chaque écart $y_i-\bar{y}$ est nul. Chaque produit est nul, donc $$s_{xy}=0.$$

Le piège à connaître. Une covariance nulle ne signifie pas « aucune relation ». Elle signifie aucune tendance linéaire. La série $(-3,9)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(3,9)$ a une covariance nulle alors que $y=x^2$ exactement : la relation est parfaite, mais elle n'est pas affine.