Quand le coefficient de corrélation n'existe pas

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Corrélation, alignement et changement d'unité

Énoncé

On observe $(1, 7)$ , $(3, 7)$ , $(5, 7)$ et $(9, 7)$ . Calculer $s_{x y}$ , $s_{y}^{2}$ , puis expliquer pourquoi $r_{x y}$ n'est pas défini. Que vaut la droite de régression de $y$ en $x$ ?

Corrigé

Les moyennes. $x ˉ = \frac{1 + 3 + 5 + 9}{4} = \frac{18}{4} = 4, 5$ et $y ˉ = \frac{7 + 7 + 7 + 7}{4} = 7$ .

La variance de $y$ . Tous les $y_{i}$ valent $7 = y ˉ$ , donc chaque écart $y_{i} - y ˉ$ est nul et $s_{y}^{2} = \frac{1}{4} \sum (y_{i} - y ˉ)^{2} = 0, donc s_{y} = 0.$

La covariance. Chaque produit $(x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ)$ contient le facteur nul $y_{i} - y ˉ$ , donc $s_{x y} = 0.$

Pourquoi $r_{x y}$ n'est pas défini. La définition du cours, $r_{x y} = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ , suppose $s_{x} \neq = 0$ et $s_{y} \neq = 0$ . Ici $s_{y} = 0$ : le quotient s'écrirait $\frac{0}{0}$ , il n'a pas de sens. On ne peut donc pas dire que la corrélation est nulle, ni qu'elle vaut $1$ : elle n'existe pas.

La droite de régression, elle, existe. Elle ne demande que $s_{x} \neq = 0$ , ce qui est le cas ici. Ses coefficients valent $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}} = \frac{0}{s _{x}^{2}} = 0, b = y ˉ - a x ˉ = 7.$ La droite est donc $y = 7$ : la droite horizontale passant par tous les points. Elle est d'ailleurs parfaite, tous les résidus étant nuls.

Le paradoxe apparent. L'ajustement est exact, et pourtant le coefficient de corrélation n'est pas défini. C'est cohérent : $r$ mesure la variabilité commune des deux variables, et ici $y$ ne varie pas du tout. Il n'y a rien à corréler.

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