Trois nombres incompatibles

L'outil. Le cours affirme que $-1⩽r_{xy}⩽1$, où $r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$. Cette double inégalité se réécrit $$\left|s_{xy}\right|⩽s_x{s}_y.$$

L'application. Ici $s_x{s}_y=2\times 3=6$, alors que $|s_{xy}|=8>6$. Les trois nombres sont donc incompatibles : aucune série statistique ne les produit tous les trois.

Ce que vaudrait $r$. On aurait $r_{xy}=\frac{8}{6}\approx 1,33$, un coefficient de corrélation strictement supérieur à $1$ : impossible.

La valeur maximale possible. Avec $s_x=2$ et $s_y=3$, la covariance ne peut pas dépasser $6$ en valeur absolue, et elle n'atteint $\pm 6$ que dans le cas $|r_{xy}|=1$, c'est-à-dire lorsque tous les points du nuage sont alignés : il existe alors $\alpha \ne 0$ et $\beta$ tels que $y_i=\alpha x_i+\beta$ pour tout $i$.

Une lecture équivalente. La pente de la régression vaudrait $a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{8}{4}=2$ et celle de la régression inverse $a^{\prime }=\frac{s_{xy}}{s_y^2}=\frac{8}{9}$, dont le produit $\frac{16}{9}>1$ contredit $a{a}^{\prime }=r_{xy}^2⩽1$. Le même défaut, vu d'un autre côté.

Le point à retenir. Trois nombres publiés se contrôlent avant d'être commentés : la covariance est bornée par le produit des écarts-types.