Un ajustement en un sur x

Le diagnostic. Les produits $x_i{y}_i$ valent $10,2$ ; $10,2$ ; $10,4$ ; $10,0$ : ils sont quasi constants. Le modèle naturel est $y=\frac{k}{x}$, qui n'est pas affine — une droite ajustée directement sur $(x,y)$ serait un mauvais résumé.

La transformation. On pose $z_i=\frac{1}{x_i}$. Le modèle devient $y=kz$, affine en $z$. Les couples $(z_i,y_i)$ sont $$(1;10,2),(0,5;5,1),(0,25;2,6),(0,2;2,0).$$

L'ajustement. $\bar{z}=0,4875$ et $\bar{y}=4,975$. Puis $$s_{zy}=\frac{10,2+2,55+0,65+0,4}{4}-0,4875\times 4,975=3,45-2,42531=1,02469,$$ $$s_z^2=\frac{1+0,25+0,0625+0,04}{4}-0,4875^2=0,338125-0,237656=0,100469.$$ D'où $$a=\frac{1,02469}{0,100469}\approx 10,199,b=4,975-10,199\times 0,4875\approx 0,003.$$

Retour à $x$. L'ordonnée à l'origine est quasi nulle, ce qui conforte un modèle sans terme constant : $$y\approx \frac{10,2}{x}.$$ La corrélation entre $z$ et $y$ vaut $0,99995$ : l'alignement est presque parfait, dans les nouvelles variables.

Le point à retenir. On ne renonce pas aux moindres carrés devant une courbe : on change de variable pour rendre la relation affine, on ajuste, puis on revient. Ici $z=1/x$ ; devant une croissance multiplicative, ce serait $\ln y$.