Un nuage qu'une droite ne résume pas

Pourquoi une droite est inadaptée. Les écarts successifs de $y$ valent $3,1$, puis $6,1$, puis $11,8$ : ils doublent à chaque pas, alors qu'une relation affine imposerait des écarts constants pour des $x$ également espacés. Le nuage est convexe, un modèle multiplicatif s'impose.

La pré-transformation. Si $y=C{\mathrm{e}}^{\lambda x}$ avec $C>0$, alors $$\ln y=\ln C+\lambda x,$$ relation affine en $x$. On ajuste donc une droite sur les couples $(x_i,z_i)$ avec $z_i=\ln y_i$.

Les valeurs transformées. $$z_1\approx 1,0986,z_2\approx 1,8083,z_3\approx 2,5014,z_4\approx 3,1781.$$ Les écarts successifs valent environ $0,710$, $0,693$, $0,677$ : presque constants, ce qui confirme la pertinence du modèle.

Les résumés. $\bar{x}=2,5$ et $\bar{z}=\frac{8,5864}{4}\approx 2,1466$. Puis $$\sum x_i^2=30,s_x^2=\frac{30}{4}-2,5^2=7,5-6,25=1,25,$$ $$\sum x_i{z}_i\approx 24,9318,s_{xz}\approx \frac{24,9318}{4}-2,5\times 2,1466\approx 0,8665.$$

Les coefficients. $$\lambda =\frac{s_{xz}}{s_x^2}\approx \frac{0,8665}{1,25}\approx 0,693,\ln C=\bar{z}-\lambda \bar{x}\approx 2,1466-1,733\approx 0,414,$$ d'où $C={\mathrm{e}}^{0,414}\approx 1,51$ et $$y\approx 1,51{\mathrm{e}}^{0,693x}.$$

Contrôle. ${\mathrm{e}}^{0,693}\approx 2$ : le modèle dit que $y$ double quand $x$ augmente de $1$. En $x=4$ il prédit $1,51\times 16\approx 24,2$, à comparer à la valeur observée $24,0$.