Un résidu à calculer

La cohérence. La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen : c'est une conséquence de la formule $b=\bar{y}-a\bar{x}$. Vérifions-le sur $G=(3,5)$ : $$2\times 3-1=6-1=5=\bar{y}.$$ Les deux données sont donc compatibles. Si l'égalité avait échoué, c'est qu'une erreur se serait glissée dans le calcul de la droite ou du point moyen.

Le résidu. Par définition, le résidu d'une observation $(x_i,y_i)$ est l'écart entre la valeur observée et la valeur prédite par la droite : $$e_i=y_i-(a{x}_i+b).$$ Pour l'observation $(4,8)$, la valeur prédite est $$2\times 4-1=7,$$ donc $$e=8-7=1.$$

L'interprétation. Le résidu est positif : cette observation se situe au-dessus de la droite d'ajustement, d'une unité. Autrement dit le modèle sous-estime cette valeur de $1$.

Ce à quoi les résidus servent. Ce sont eux, et non le seul coefficient de corrélation, qu'on examine pour juger un ajustement : on regarde s'ils sont petits, et surtout s'ils ne présentent pas de structure (par exemple tous positifs au milieu du nuage et négatifs aux extrémités, signe qu'une courbe conviendrait mieux qu'une droite).