Un seul point qui commande tout

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Droite de régression et prévision

Énoncé

On observe $(1, 1)$ , $(2, 2)$ , $(3, 3)$ , $(4, 4)$ et $(5, 25)$ . Calculer $r_{x y}$ et la droite de régression de $y$ en $x$ , puis les recalculer sans la dernière observation. Conclure.

Corrigé

Avec les cinq points. $x ˉ = 3$ et $y ˉ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 25}{5} = 7$ . Par Koenig-Huygens, $s_{x y} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 125}{5} - 3 \times 7 = 31 - 21 = 10,$ $s_{x}^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 9 = 2, s_{y}^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 625}{5} - 49 = 82.$ D'où $r_{x y} = \frac{10}{2 82} = \frac{10}{164} \approx 0, 781, a = \frac{10}{2} = 5, b = 7 - 5 \times 3 = - 8.$ La droite est $y = 5 x - 8$ .

Sans le cinquième point. Les quatre premiers vérifient $y_{i} = x_{i}$ exactement : ils sont alignés, donc $r_{x y} = 1$ et la droite est $y = x$ .

Le contraste. Une observation sur cinq fait passer la pente de $1$ à $5$ et l'ordonnée à l'origine de $0$ à $- 8$ . Et le coefficient $0, 781$ ne dénonce rien : il passerait pour honorable.

Les résidus, eux, le disent. La droite $y = 5 x - 8$ prédit $- 3, 2, 7, 12, 17$ ; les résidus valent $4, 0, - 4, - 8, 8$ . Ils changent deux fois de signe et sont énormes : aucune droite ne convient à ce nuage.

Le point à retenir. Les moindres carrés élèvent les écarts au carré : un point isolé y pèse démesurément. On regarde donc toujours le nuage et les résidus, jamais le seul coefficient de corrélation.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.