Une covariance par deux chemins

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 7 — Statistiques bivariées et régression linéaire · Les nombres d'un même nuage

Énoncé

Pour la série $(1, 3)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(6, 8)$ , calculer $s_{x y}$ par la définition, puis par Koenig-Huygens.

Corrigé

Par la définition. Les écarts au point moyen $(3, 5)$ sont $(- 2, - 2)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, - 1)$ , $(3, 3)$ . Leurs produits valent $4$ , $0$ , $0$ , $9$ , de somme $13$ . Donc

$s_{x y} = \frac{13}{4} = 3, 25.$

Par Koenig-Huygens. $\frac{1}{n} \sum x_{i} y_{i} = \frac{3 + 10 + 12 + 48}{4} = \frac{73}{4} = 18, 25$ , et $x ˉ y ˉ = 15$ . Donc $s_{x y} = 18, 25 - 15 = 3, 25$ .

Les deux chemins concordent. Le second est plus rapide dès que le point moyen n'est pas entier, car il évite de soustraire à chaque terme.

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