Une covariance par Koenig-Huygens

Les moyennes. $$\bar{x}=\frac{1+3+5+7}{4}=\frac{16}{4}=4,\bar{y}=\frac{4+6+5+9}{4}=\frac{24}{4}=6.$$

Les produits. $$x_1{y}_1=4,x_2{y}_2=18,x_3{y}_3=25,x_4{y}_4=63,$$ de somme $4+18+25+63=110$.

La formule. $$s_{xy}=\frac{1}{n}\sum x_i{y}_i-\bar{x}\bar{y}=\frac{110}{4}-4\times 6=27,5-24=3,5.$$

Vérification par la définition. Les écarts $x_i-\bar{x}$ valent $-3,-1,1,3$ et les écarts $y_i-\bar{y}$ valent $-2,0,-1,3$. Les produits sont $6,0,-1,9$, de somme $14$, et $\frac{14}{4}=3,5$. Les deux méthodes donnent le même nombre.

L'interprétation. $s_{xy}=3,5>0$ : les deux variables varient dans le même sens, le nuage penche à droite. On le voit sur les données — quand $x$ passe de $1$ à $7$, $y$ passe globalement de $4$ à $9$, malgré le point $(5,5)$ qui va à contre-courant.

Le choix de la méthode. Koenig-Huygens est plus rapide quand les moyennes tombent juste, et évite d'écrire tous les écarts ; la définition est plus sûre quand les moyennes ne sont pas des nombres ronds, car elle n'enchaîne pas les arrondis.