Une droite de régression et une prévision

Les résumés. Avec $n=5$ : $$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,\bar{y}=\frac{2+3+5+4+6}{5}=\frac{20}{5}=4.$$ Les produits $x_i{y}_i$ valent $2,6,15,16,30$, de somme $69$, donc $$s_{xy}=\frac{69}{5}-3\times 4=13,8-12=1,8.$$ Les carrés $x_i^2$ valent $1,4,9,16,25$, de somme $55$, donc $$s_x^2=\frac{55}{5}-9=11-9=2.$$

Les coefficients. Le cours donne $$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{1,8}{2}=0,9,b=\bar{y}-a\bar{x}=4-0,9\times 3=4-2,7=1,3.$$ La droite de régression de $y$ en $x$ est donc $$y=0,9x+1,3.$$

Le passage par le point moyen. En $x=\bar{x}=3$ : $0,9\times 3+1,3=2,7+1,3=4=\bar{y}$. La droite passe bien par $G=(3,4)$ — c'est une conséquence directe de la formule $b=\bar{y}-a\bar{x}$, et cela fournit un contrôle gratuit du calcul de $b$.

La prévision. Pour $x=6$ : $$0,9\times 6+1,3=5,4+1,3=6,7.$$

La réserve à formuler. La valeur $x=6$ est en dehors de l'intervalle observé $[1,5]$. Rien dans les données ne garantit que la relation affine se prolonge au-delà : la prévision $6,7$ n'est valide que si l'on admet ce prolongement, hypothèse qu'il faut annoncer et non supposer.