Une même corrélation, deux pentes très différentes

La formule. Partons de la définition de la pente et remplaçons $s_{xy}$ par son expression en fonction de $r_{xy}$ : $$a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{r_{xy}{s}_x{s}_y}{s_x^2}=r_{xy}\frac{s_y}{s_x},$$ la simplification par $s_x\ne 0$ étant licite. La pente est donc le produit de deux choses indépendantes : le coefficient de corrélation, sans unité, et le rapport des dispersions, qui porte toutes les unités.

Première série. Prenons une série pour laquelle $s_x=1$, $s_y=10$ et $r_{xy}=0,9$. Alors $$a=0,9\times \frac{10}{1}=9.$$ Un exemple concret : $x$ mesuré en mètres, $y$ en centimètres.

Seconde série. Prenons-en une autre avec $s_x=10$, $s_y=1$ et le même $r_{xy}=0,9$. Alors $$a=0,9\times \frac{1}{10}=0,09.$$

Le rapport. $\frac{9}{0,09}=100$ : les deux pentes sont dans un rapport $100$, alors que les deux nuages ont exactement la même corrélation, donc le même degré d'alignement.

Ce qu'il faut en retenir. Le coefficient de corrélation et la pente mesurent deux choses différentes :

• $r_{xy}$ dit à quel point les points sont alignés ; il est sans unité et ne change pas si l'on change d'unité de mesure ;
• $a$ dit de combien $y$ varie quand $x$ augmente d'une unité ; il s'exprime en unités de $y$ par unité de $x$, et change avec elles.

Une corrélation de $0,9$ n'annonce donc aucune pente en particulier — et, symétriquement, une pente forte ne garantit nullement un bon alignement.